Bonjour,
Ce n'est pas à proprement dit un transfert de bail car il est déjà titulaire du bail. A priori, il faut réaliser un avenant pour changement de locataire sur lequel vous enlever la mère et vous pouvez rédiger une introduction afin d'expliquer la situation.
Sinon, l'ADIL de votre secteur peut vous donner une information plus précise.