Bonjour,
Comme vous l'évoquez, un bail doit être signé par les deux parties. Dans votre cas, le bail ne vaut rien. La problématique est donc la protection dont vous bénéficiez si votre propriétaire souhaite vous mettre à la porte. Mais devant un juge, avec la copie de votre bail non signé et la preuve du paiement de vos loyers, vous n'aurez aucun problème.
Pour résumer, la problématique semble plus être au niveau de votre bailleur, qui ne pourra pas régulariser le loyer, résilier votre bail, voir demander des réparations avec votre dépôt de garantie.